Question

15．如图，在平面直角坐标系中，点B在y轴正半轴上且∠ABO=30°，D（2，0），直线y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）的图象过点C（3，n），与x轴交于点A．
（1）直接写出A点坐标（-1，0），B点坐标（0，$\sqrt{3}$），n=3；
（2）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（3）将△AOB绕点O按顺时针方向旋转120°到△A₁OB₁，求A₁的坐标；
（4）将△AOB绕点O按顺时针方向旋转到△A₂OB₂，直接写出以点O、A₂、D、B₂为顶点的四边形为平行四边形时A₂的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出直线y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1），当y=0时，x=-1，得出∴A（-1，0），OA=1，由直角三角形的性质和勾股定理得出OB=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，得出B（0，$\sqrt{3}$），把点C坐标代入直线解析式求出n即可；
（2）由（1）得：C（3，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{\sqrt{3}}$），得出BC∥AD，BC=3，求出AD=OA+OD=3，得出BC=AD，即可证出四边形ABCD为平行四边形；
（3）作A₁E⊥OB于E，由旋转的性质得：OA₁=OA=1，∠AOA₁=120°，求出∠A₁OE=30°，得出A₁E=$\frac{1}{2}$OA₁=$\frac{1}{2}$，求出OE=$\sqrt{3}$A₁E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得出A₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（4）分三种情况：当点A₂在第一象限时，旋转角为120°；点A₂在第四象限时，旋转角为240°；点A₂在第二象限时，旋转角为420°；分别由平行四边形的性质求出点A₂的坐标即可．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1），当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0），OA=1，
∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴AB=2OA=2，
∴OB=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，
∴B（0，$\sqrt{3}$），
把点C（3，n）代入直线y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）得：n=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（3+1）=$\sqrt{3}$，
故答案为：-1，0；0，$\sqrt{3}$；3；

（2）由（1）得：C（3，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{\sqrt{3}}$），
∴BC∥AD，BC=3，
∵AD=OA+OD=3，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形；

（3）作A₁E⊥OB于E，如图所示：
由旋转的性质得：OA₁=OA=1，∠AOA₁=120°，
∴∠A₁OE=120°-90°=30°，
∴A₁E=$\frac{1}{2}$OA₁=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\sqrt{3}$A₁E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴A₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；

（4）当点A₂在第一象限时，以点O、A₂、D、B₂为顶点的四边形为平行四边形时，A₂（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
点A₂在第四象限时，以点O、A₂、D、B₂为顶点的四边形为平行四边形时，A₂（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
点A₂在第二象限时，以点O、A₂、D、B₂为顶点的四边形为平行四边形时，A₂（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
综上所述：以点O、A₂、D、B₂为顶点的四边形为平行四边形时A₂的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、一次函数的应用、平行四边形的判定与性质、旋转的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．