(一)观察如图.回答下列问题:中共有3条线段,中共有10条线段,所有线段长度的和是20,(3)按这样的规律画下去.到图(7)时.所有线段长度的和是84,(二)观察下列等式:1×1=$\frac{1×2×3}{6}$,1×2+2×1=$\frac{2×3×4}{6}$,1×3+2×2+3×1=$\frac{3×4×5}{6}$,1×4+2×3+3×2+4� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．（一）观察如图，回答下列问题：

（1）图（2）中共有3条线段；
（2）图（4）中共有10条线段；所有线段长度的和是20；
（3）按这样的规律画下去，到图（7）时，所有线段长度的和是84；
（二）观察下列等式：
1×1=$\frac{1×2×3}{6}$；
1×2+2×1=$\frac{2×3×4}{6}$；
1×3+2×2+3×1=$\frac{3×4×5}{6}$；
1×4+2×3+3×2+4×1=$\frac{4×5×6}{6}$；
…
请你将想到的规律用含有 n（n是正整数）的等式来表示就是：1×n+2×（n-1）+…+（n-1）×2+n×1=$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$．
猜想：在问题（一）中，按规律画下去，到图（100）时，所有线段长度的和是171700．

分析一、（1）根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数．
（2）根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数，然后根据各线段的长度计算它们的和即可．
（3）根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数，然后根据各线段的长度计算它们的和即可．
二、根据上面的等式得出规律即可；然后结合问题（一）（二）中的规律即可求得．

解答解：一、（1）图中线段有：线段AB、线段AC、线段BC，共有3条线段．
故答案为3．
（2）图中线段有：线段AB、线段AC、线段AD、线段AE、线段BC、线段BD、线段BE、线段CD、线段CE、线段DE、共有10条线段．
所有线段长度的和=1+2+3+4+1+2+3+1+2+1=20；
故答案为10，20；
（3）按这样的规律画下去，到图（7）时，所有线段长度的和是1+2+3+4+5+6+7+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+1+2+3+4+1+2+3+1+2+1=84；
故答案为84；
二、将想到的规律用含有 n（n 是正整数）的等式来表示就是：1×n+2×（n-12+n×1=$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$；
故答案为1×n+2×（n-1）+…+（n-1）×2+n×1=$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$；
猜想：在问题（一）中，按规律画下去，到图（100）时，
所有线段长度的和是$\frac{100×1001×1002}{6}$=171700；
故答案为171700；

点评本题考查了图形的变化规律，数线段的方法：有n个点，就有1+2+3+4+…+（n-1）条线段．