Question

14．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x²+bx+c的图形经过点（-1，0）和（$\frac{3}{2}$，0）两点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）当-$\frac{3}{2}$＜x＜1时，求y的取值范围；
（3）一次函数y=mx+1的图象与二次函数y=2x²+bx+c图象交点的横坐标分别是e和f，其中e＜2＜f，试求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数的增减性，可得答案；
（3）根据联立函数解析式，可得函数交点坐标，根据交点坐标，可得不等式，根据解不等式，可得答案．

解答 解：（1）二次函数y=2x²+bx+c的图形经过点（-1，0）和（$\frac{3}{2}$，0）两点，得
$\left\{\begin{array}{l}{2-b+c=0}\\{\frac{9}{2}+\frac{3}{2}b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
此二次函数的表达式y=2x²-x-3；
（2）当-$\frac{3}{2}$＜x＜$\frac{1}{4}$时，y随x的增大而减小，
当x=-$\frac{3}{2}$时，y_最大=3，
当x=$\frac{1}{4}$时，y_最小=-$\frac{25}{8}$，
当-$\frac{3}{2}$＜x＜1时，求y的取值范围是-$\frac{25}{8}$＜y＜3；
（3）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=m+1}\\{y=2{x}^{2}-x-3}\end{array}\right.$，
化简，得
2x²-（1+m）x-4=0．
解得x₁=e=$\frac{1+m-\sqrt{（1+m）^{2}+32}}{4}$，x₂=f=$\frac{1+m+\sqrt{（1+m）^{2}+32}}{4}$，
由e＜2＜f，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+m-\sqrt{（1+m）^{2}+32}}{4}＜2}\\{\frac{1+m+\sqrt{（1+m）^{2}+32}}{4}＞2}\end{array}\right.$，
解得1＜m＜7．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数的增减性得出不等式的解集，（3）利用方程组的解得出不等式组是解题关键．