Question

4．如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OA、OD，则阴影部分的面积等于梯形的面积减去三角形的面积．根据题目中的条件不难发现等边三角形AOD、AOB、COD，从而求解．

解答 解：设圆心为O，连接OA、OD．
∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=30°，
∴∠AOD=2∠ACD=60°，∠OAC=∠ACO=30°．
∴∠BAC=90°，
∴BC是直径，
又∵OA=OD=OB=OC，
则△AOD、△AOB、△COD都是等边三角形．
∴AB=AD=CD．
又∵四边形ABCD的周长为10cm，
∴OB=OC=AB=AD=DC=2（cm）．
∴阴影部分的面积=S_梯形-S_△ABC=$\frac{1}{2}$（2+4）×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 此题综合考查了梯形的面积，三角形的面积以及等边三角形的判定和性质．作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．