Question

11．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，以AD为直径作⊙O，⊙O分别交AB、AC于E、F．
（1）求证：BE=CF；
（2）设AD、EF相交于G，若EF=8，⊙O的半径为5，求DG的长．

Answer 1

分析 （1）连接DE，DF，由AB=AC，且AD为BC边上的高，利用三线合一得到D为BC的中点，AD为顶角平分线，再由AD为圆O的直径，利用直角所对的角为直角得到一对直角相等，利用AAS得到三角形EBD与三角形FCD全等，由全等三角形的对应边相等得到BE=CF，得证；
（2）由（1）AB=AC，BE=CF知AE=AF，又∠BAD=∠CAD根据等腰三角形三线合一知AD垂直平分EF；连接OE，设DG=x，分别表示出OE、OG、EF的长，根据勾股定理可得x的值．

解答 解：（1）证明：如图，

连接DE、DF、OE，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠C，BD=CD，∠BAD=∠CAD
∵AD为⊙O的直径，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
在△DBE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD}\\{∠B=∠C}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DCF（AAS），
∴BE=CF；
（2）∵AB=AC，BE=CF，
∴AE=AF，
∵∠BAD=∠CAD，EF=8
∴AD⊥EF，EG=FG=$\frac{1}{2}$EF=4，
设DG=x，
∵⊙O的半径为5，
∴OE=5，OG=5-x，
在RT△OEG中，∵OE²=EG²+OG²，
∴5²=4²+（5-x）²，
解得：x₁=2，x₂=8（舍去）．
故DG的长为2．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．