Question

20．阅读材料：
为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以将x²-1看作一个整体，然后设x²-1=y…①，
那么原方程可化为y²-5y+4=0，解得y₁=1，y₂=4
当y=1时，x²-1=1，∴x²=2，∴x=±$\sqrt{2}$
当y=4时，x²-1=4，∴x²=5，∴x=±$\sqrt{5}$
故原方程的解为x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\sqrt{5}$，x₄=-$\sqrt{5}$
上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”
解答问题：请用换元法解方程x²-2x+$\frac{21}{{x}^{2}-2x}$=10．

Answer 1

分析 设t=x²-2x，用t代替方程中的（x²-2x），然后解关于t的分式方程，然后再来求关于x的一元二次方程．

解答 解：设t=x²-2x，
依题意得：t+$\frac{21}{t}$=10，
t²-10t+21=0，
（t-3）（t-7）=0，
则t=3或t=7．
经检验，t=3或t=7都是所列方程的解．
①当t=3时，x²-2x=3，
整理，得
（x+3）（x-1）=0，
解得x₁=-3，x₂=1；
②当t=7时，x²-2x=7，
x²-2x-7=0．
解得x=$\frac{2±4\sqrt{2}}{2}$=1±2$\sqrt{2}$．
综上所述，x₁=-3，x₂=1，x₃=1+2$\sqrt{2}$，x₄=1-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了换元法解一元二次方程和分式方程，注意，解分式方程时要验根．