Question

12．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，并且DE∥BC，BE和CD交于点F，过点C点引CG∥EB，交AF的延长线于G，连接BG．求证：
（1）四边形BGCF为平行四边形．
（2）直线AF平分BC．

Answer 1

分析 （1）由CG∥EB即可得出$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}$，由DE∥BC即可得出$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}$，进而即可得出BG∥CD，结合CG∥BF即可证出四边形BGCF为平行四边形；
（2）由（1）中的四边形BGCF为平行四边形即可得出FG平分BC，即直线AF平分BC．

解答 证明：（1）∵CG∥EB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}$．
∵DE∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}$，
∴BG∥CD．
∵CG∥BF，
∴四边形BGCF为平行四边形．
（2）∵四边形BGCF为平行四边形，
∴FG平分BC，
∴直线AF平分BC．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质以及平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）根据平行线分线段成比例找出BG∥CD；（2）熟练掌握“平行四边形的对角线互相平分”．