Question

11．如图，AB为⊙O的直径，点F为弦AC的中点，连接OF并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若OA=AE=4，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由点F为弦AC的中点，ED切⊙O于D，可得OD⊥AC，OD⊥DE，继而证得结论；
（2）由OA=AE=4，易得∠E=30°，又由AC∥DE，利用三角函数的知识即可求得OF，AF的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵OD过圆心，F为AC中点，
∴OD⊥AC，
∵ED切⊙O于D，
∴OD⊥ED，
∴AC∥DE，

（2）解：∵OD=OA=4，OE=OA+AE=8，
∴OD=$\frac{1}{2}$OE，
∵在Rt△ODE中，OD=$\frac{1}{2}$OE，
∴∠E=30°，
∵AC∥DE，
∴∠CAB=∠E=30°，
∴在Rt△OAF中，OF=$\frac{1}{2}$AO=2，AF=$\sqrt{3}$OF=2$\sqrt{3}$，
∵F为AC中点，
∴AC=2AF=4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的性质、垂径定理以及三角函数等知识．注意根据题意求得∠E=30°是关键．