题目内容
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．点C是抛物线在第四象限部分上的一点，过点C作CD⊥x轴交于D，且AD=CD．
（1）求b，c的值；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）如图2，点E是 线段AC上一动点（点A、C除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F．
①若以点E、F、D、C为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标；
②以点A、E、B、F为顶点的四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
分析 （1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式可求得b、c的值；
（2）设直线AC与y轴交于点G，则可求得G点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（3）①设出E点坐标，可表示出EF的长，则题意可知EF=CD，则可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标；②由①中利用EF的长表示出四边形AEBF的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值．
解答 解：
（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$；
（2）如图1，设直线AC与y轴交于点G，
∵CD⊥x轴交于D，且AD=CD，
∴∠OAG=45°，
∴OG=OA=1，
∴G（0，-1），
∴可设直线AC解析式为y=kx-1，
把A（-1，0）代入可得-k-1=0，解得k=-1，
∴直线AC的解析式为y=-x-1；
（3）①由（1）可知抛物线解析式为y=-x2+2x+3，
联立直线AC与抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴C（4，-5），
∴CD=5，
∵点E是线段AC上一动点（点A、C除外），且EF⊥x轴，
∴可设E（t，-t-1）（-1＜t＜4），则F（t，-t2+2t+3），
∴EF=-t2+2t+3-（-t-1）=-t2+3t+4，
∵CD⊥x轴，
∴EF∥CD，
∴当四边形EFDC为平行四边形时，则有EF=CD=5，即-t2+3t+4=5，解得t=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$或t=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
∴E点坐标为（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$）；
②如图2，
则S四边形AEBF=S△ABE+S△ABF=$\frac{1}{2}$AB•EF=$\frac{1}{2}$×4（-t2+3t+4）=-2（t-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{25}{2}$，
∵-2＜0，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，S四边形AEBF有最大值$\frac{25}{2}$，
即以点A、E、B、F为顶点的四边形的面积存在最大值，其最大值为$\frac{25}{2}$．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、函数图象的交点、平行四边形的性质、三角形的面积、二次函数的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得直线AC与y轴的交点坐标是解题的关键，在（3）中用E的坐标表示出EF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，E是AC的中点，连接DE并延长，交AN于F．
已知在三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求三角形ABC的面积．