Question

16．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，E是AC的中点，连接DE并延长，交AN于F．
（1）试判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论；
（2）试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=DF；结合已知条件可以推知AB∥DF，又AF=BD，则易判定四边形ABDF是平行四边形；
（2）由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAF=90°，又由CF⊥AN，即可证得：四边形ADCF为矩形．

解答 解：（1）四边形ABDF是平行四边形，理由如下：
证明：由（1）知，四边形ADCF为矩形，则AF=CD，AC=DF．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DF，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形；

（2）四边形ADCF是矩形．
理由是：
∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAF=90°，
∵CF⊥AN，
∴∠AFC=90°，
∴四边形ADCF为矩形．

点评 此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．