Question

【题目】如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与边AC，BC分别交于点D，E，且弧DE＝弧BE，设∠ABD＝α，∠C＝β．

（1）用含β的代数式表示α，并直接写出β的取值范围；

（2）若AB＝10，BC＝12，求点O到弦BE的距离．

Answer 1

【答案】（1）45°＜β＜90°（2）4

【解析】

（1）连接AE，根据圆心角、弧、弦的关系解答即可；

（2）作OF⊥BE，垂足为F，根据勾股定理解答即可．

解：（1）连接AE．

∵，

∴∠CAE＝∠BAE＝∠BDE＝∠DBE．

∴∠DAB＝2∠DBE．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°．

∴∠DAB+α＝∠DBE+β＝90°．

∴90°﹣α＝2（90°﹣β）．

∴α＝2β﹣90°．

β的取值范围为45°＜β＜90°．

（2）作OF⊥BE，垂足为F，则BF＝FE．

∴OF＝AE．

∵∠ABC＝α+（90°﹣β）＝2β﹣90°+（90°﹣β）＝β，

∴AB＝AC．

∴BE＝EC＝BC．

在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝BC＝6，

∴AE＝8．

∴OF＝4．即点O到弦BE的距离为4．