Question

18．某校组织数学兴趣小组活动中，爱好思考的小聪在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图（1）、图（2）、图（3）中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．
[特例探究]
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4$\sqrt{2}$时，a=4$\sqrt{5}$，b=4$\sqrt{4}$；
如图2，当∠PBA=30°，c=2时，a=$\sqrt{13}$，b=$\sqrt{7}$；
（2）请你观察（1）中的计算结果，发现a²、b²、c²三者之间有关系如下：a²+b²=5c²，请利用图3证明你的结论．
[拓展证明]
（3）如图4，?ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3$\sqrt{5}$，AB=3，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得到AP=BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4，根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，再由勾股定理得到结果；
（2）连接EF，设∠ABP=α，类比着（1）即可证得结论；
（3）根据全等三角形的性质得到BG=EG，AG=GF，得到BG是△ABF的中线，取AB的中点H，连接FH，并延长交DA的延长线于P，推出四边形CSPF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到FP∥CE，得到△ABF是中垂三角形，于是得到结论．

解答 解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，
∴AP=BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∴∠PFE=∠PEF=45°，
∴PE=PF=2，
在Rt△FPB和Rt△PEA中，
AE=BF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AC=BC=4$\sqrt{5}$，
∴a=b=4$\sqrt{5}$，
如图2，连接EF，
同理可得：EF=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵EF∥AB，
∴△PEF～△ABP，
∴$\frac{FP}{AP}$=$\frac{PE}{PB}$，
在Rt△ABP中，
AB=2，∠ABP=30°，
∴AP=1，PB=$\sqrt{3}$，
∴PF=$\frac{1}{2}$，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
AE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，BF=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴a=$\sqrt{13}$，b=$\sqrt{7}$，
故答案为：4$\sqrt{5}$，4$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$，$\sqrt{7}$；

（2）猜想：a ²，b²，c²三者之间的关系是：a²+b²=5c²，
证明：如图3，连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB．且 EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$c．
∴$\frac{PE}{PB}$=$\frac{PF}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
设 PF=m，PE=n 则AP=2m，PB=2n，
在Rt△APB中，（2m）²+（2n）²=c²①
在Rt△APE中，（2m）²+n²=（$\frac{b}{2}$）²  ②
在Rt△BPF中，m²+（2n）²=（$\frac{a}{2}$）²  ③
由①得：m²+n²=$\frac{{c}^{2}}{4}$，由②+③得：5（ m²+n²）=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}$，
∴a ²+b²=5 c²；

（3）在△AGE与△FGB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠FGB}\\{∠AEG=∠FBG}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=EG，AG=GF，
∴BG是△ABF的中线，
取AB的中点H，连接FH，并延长交DA的延长线于P，
同理，△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
∴PE∥CF，PE=CF，
∴四边形CSPF是平行四边形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）知，AB²+AF²=5BF²，
∵AB=3，
∴BF=$\frac{1}{3}$AD=$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线，表示出线段是解本题的关键．