Question

8．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE于点F，延长DF交BC于点G，连接DE．
（1）求证：DF=DC；
（2）求证：CD²=AF•CG．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质知∠ADE=∠DEC，由AD=AE知∠ADE=∠AED，从而得∠DEF=∠DEC，证△DEF≌△DEC可得DF=DC；
（2）由AD∥BC知∠ADF=∠DGC，证△ADF∽△DGC知$\frac{DF}{CG}$=$\frac{AF}{CD}$，结合DF=DC得$\frac{DC}{CG}$=$\frac{AF}{CD}$，即可得出答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°、AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠DEF=∠DEC，
∵DF⊥AE，
∴∠DFE=∠C=90°，
在△DEF和△DEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠C}\\{∠DEF=∠DEC}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△DEC（AAS）
∴DF=DC；

（2）∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DGC，
∵∠AFD=∠DCG=90°，
∴△ADF∽△DGC，
∴$\frac{DF}{CG}$=$\frac{AF}{CD}$，
∵DF=DC，
∴$\frac{DC}{CG}$=$\frac{AF}{CD}$，即CD²=AF•CG．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．