Question

6．如图，AP⊥AQ，半径为5 的⊙O于AP相切于点T，与AQ交于点B、C．
①BT是否平分∠OBA？证明你的结论 
②若AT=4，求AB的长．

Answer 1

分析 ①连接OT，AT是切线，则OT⊥AP，可以证明AB∥OT，得到∠TBA=∠BTO，再根据等边对等角得到∠OTB=∠OBT，就可以证出结论；
②过点B作BH⊥OT于点H，然后在Rt△OBH中，利用OB=5，BH=AT=4根据勾股定理求出OH，最后即可求出AB．

解答 解：①BT平分∠OBA，
证明：连接OT，
∵AT是切线，
∴OT⊥AP；
又∵∠PAB是直角，即AQ⊥AP，
∴AB∥OT，
∴∠TBA=∠BTO．
又∵OT=OB，
∴∠OTB=∠OBT．
∴∠OBT=∠TBA，即BT平分∠OBA；

②过点B作BH⊥OT于点H，
则四边形OMBH和四边形ABHT都是矩形．
则在Rt△OBH中，OB=5，BH=AT=4，
∴OH=$\sqrt{O{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AB=HT=OT-OH=5-3=2．

点评 此题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．