Question

18．对于平面直角坐标系中相交的两条直线，给出如下定义：若相交的两条直线分别与x轴相交所构成的两锐角相等，则称这两条直线为“泛对称直线”．例如在图中，若∠PQR=∠PRQ，则直线PQ与直线PR称为“泛对称直线”；反之，若直线PQ与直线PR是“泛对称直线”，则有∠PQR=∠PRQ．解答下列问题．
（1）判断下列说法是否正确？若正确，则在题后的括号内打上“√”，否则打上“×”；
①同一平面直角坐标系中两直线l₁：y=x+3与直线l₂：y=-x+3一定是“泛对称直线”．（√）
②若同一平面直角坐标系中两条相交的直线y=k₁x+b₁（k₁≠0）与y=k₂x+b₂（k₂≠0）是“泛对称直线”，则必有k₁+k₂=0，b₁=b₂．（×）
（2）在y轴上有一点A，且OA=2，求经过A点且与直线l₂：y=2x+4是“泛对称直线”的直线函数解析式．

Answer 1

分析 （1）①利用“泛对称直线”的定义判断即可；②利用“泛对称直线”的定义k₁与k₂，b₁与b₂的关系即可；
（2）利用“泛对称直线”的定义找出过A点直线的斜率，根据OA的长确定出A的坐标，即可确定出所求直线解析式．

解答 解：（1）①同一平面直角坐标系中两直线l₁：y=x+3与直线l₂：y=-x+3一定是“泛对称直线”．（√）
②若同一平面直角坐标系中两条相交的直线y=k₁x+b₁（k₁≠0）与y=k₂x+b₂（k₂≠0）是“泛对称直线”，则必有k₁+k₂=0，b₁=b₂．（×）；
故答案为：①√；②×；
（2）∵经过A点且与直线l₂：y=2x+4是“泛对称直线”，
∴两直线斜率之和为0，即过A点且与直线l₂：y=2x+4是“泛对称直线”的直线斜率为-2，
设为y=-2x+b，
把（0，2）代入得：b=2，
则所求直线解析式为y=-2x+2．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数的图象与性质，坐标与图形性质，弄清题中“泛对称直线”的定义是解本题的关键．