Question

6．如图，已知点A（4，0）、B（0，2），∠AOB的平分线交AB于C．动点M从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向点A作匀速运动，同时动点N从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向点B作匀速运动，点P、Q为点M、N关于直线OC的对称点，设M运动的时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）求C点的坐标，并直接写出点P、Q的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）运动过程中，
①是否存在某一时刻使得△CPQ为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②设△CPQ与△OAB重叠部分的面积为S，试求S关于t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）先根据OC是∠AOB的平分线得出OC的解析式为y=x．再利用待定系数法求出直线AB的解析式，故可得出C点坐标，用t表示出点M与点N的坐标，再由轴对称的性质可得出P、Q两点的坐标；
（2）①分CP=PQ，PQ=QC及CP=CQ三种情况进行讨论即可；
②当0＜t≤1时，S=S_△POC+S_△OQC-S_△OPQ，当1＜t＜2时，设PQ与AB交于点D，则重叠部分面积为△CDQ的面积，据此可得出结论．

解答 解：（1）∵OC是∠AOB的平分线，
∴OC的解析式为y=x．
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵点A（4，0）、B（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}0=4k+b\\ b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ y=-\frac{1}{2}x+2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ y=\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
∵动点M从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向点A作匀速运动，同时动点N从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向点B作匀速运动，
∴M（2t，0），N（0，t）．
∵点P、Q为点M、N关于直线OC的对称点，
∴P（0，2t），Q（t，0）；

（2）①当CP=PQ，∠CPQ=90°时，此种情况不存在；
当PQ=QC，∠PQC=90°时，此种情况不存在；
当CP=CQ，∠PCQ=90°时，如图1，
∵P（0，2t），Q（t，0），C（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴2t-$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$-t，解得t=$\frac{8}{9}$；
②如图1，当0＜t≤1时，
S=S_△POC+S_△OQC-S_△OPQ
=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×2t+$\frac{1}{2}$t×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$t×2t
=-t²+2t；
如图2所示，当1＜t＜2时，设PQ与AB交于点D，则重叠部分面积为△CDQ的面积．
设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵P（0，2t），Q（t，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=2t\\ kt+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=2t\end{array}\right.$，
∴直线PQ的解析式为y=-2x+2t．
∵直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+2t\\ y=-\frac{1}{2}x+2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}t-\frac{4}{3}\\ y=-\frac{2}{3}t+\frac{8}{3}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{4}{3}$t-$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$），
∴S=S_△AQD-S_△AQC
=$\frac{1}{2}$（4-t）•（-$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$）-$\frac{1}{2}$（4-t）×$\frac{4}{3}$
=$\frac{1}{3}$t²-2t+$\frac{8}{3}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}-{t}^{2}+2t（0＜t≤1）\\ \frac{1}{3}{t}^{2}-2t+\frac{8}{3}（1＜t＜2）\end{array}\right.$．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、图形面积的计算的知识，在解答（2）时要注意进行分类讨论．