Question

4．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒，
（1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm²？
（2）求几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm²？说明理由．

Answer 1

分析 （1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP²+BQ²=PQ²，求出即可；
（3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm²．

解答 解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6                
$\frac{1}{2}$×（5-x）×2x=6
整理得：x²-5x+6=0
解得：x=2或x=3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm²

（2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP²+BQ²=PQ²，
∴（5-t）²+（2t）²=5²，
5t²-10t=0，
t（5t-10）=0，
t₁=0，t₂=2，
∴当t=0或2时，PQ的长度等于5cm．

（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
$\frac{1}{2}$×（5-x）×2x=8
整理得：x²-5x+8=0
△=25-32=-7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm²．

点评 此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm²”，得出等量关系是解决问题的关键．