Question

13．已知四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA．
（1）求证：如图（1），对角线AC、BD交于点O，M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．
求证：四边形ABCD是矩形．
（2）如图（2），已知点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG=60°，现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，不添加任何线段，请写出图中与∠BEG相等的所有的角．

Answer 1

分析 （1）由AB=CD，BC=DA得到?ABCD，推出OA=OC，OB=OD，连接OM，∠AMC=∠BMD=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到BD=AC，即可得出答案．
（2）由矩形的性质得出∠B=90°，由直角三角形的性质得出∠BGE=30°，由中点的定义和由折叠的性质得：EH=BE=AE，∠HEG=∠BEG=60°，∠BCE=∠HCE=30°，得出∠BCH=60°，∠AEH=60°，得出△AEH是等边三角形，得出∠AEH=∠EAH=∠AHE=60°，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接OM，如图所示：
∵AB=CD，BC=DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AM⊥MC，BM⊥MD，
∴∠AMC=∠BMD=90°，
∴OM=$\frac{1}{2}$BD，OM=$\frac{1}{2}$AC，
∴BD=AC，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠BEG=60°，
∴∠BGE=30°，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
由折叠的性质得：EH=BE=AE，∠HEG=∠BEG=60°，∠BCE=∠HCE=30°，
∴∠BCH=60°，∠AEH=180°-60°-60°=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴∠AEH=∠EAH=∠AHE=60°，
∴图中与∠BEG相等的所有的角有∠AEH、∠EAH、∠AHE、∠GEH、∠BGH．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，直角三角形斜边的中线，矩形的判定等知识点，解此题的关键是证出BD=AC，题目较好，综合性强．