Question

5．直线y=-x+4与坐标轴交于B、C两点，与直线y=x与相交于点A，点P为线段OA上一动点，过P作PQ垂直x轴于点Q，为PQ为边在PQ右侧作矩形PQMN，其中MQ=$\frac{3}{2}$PQ，K为AC的中点，求△PNK为等腰三角形时点Q的坐标．

Answer 1

分析 由直线BC的解析式可得出点B、C的坐标，结合直线OA的坐标可求出点A的坐标，再根据K为AC的中点，可求出K的坐标，设出点P的坐标，找出点N、Q的坐标，分三种情况考虑△PNK为等腰三角形，结合等腰三角形的性质找出关于m的方程，解方程求出m的值，将其代入点Q的坐标即可得出结论．

解答 解：当x=0时，y=4，
∴B（0，4）；
当y=0时，-x+4=0，
解得：x=4，
∴C（4，0）．
联立直线BC、OA成方程组，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴A（2，2），
∵K为AC的中点，
∴K（3，1）．
设点P坐标为（m，m）（0＜m＜2），
则Q（m，0），M（$\frac{5}{2}$m，0），N（$\frac{5}{2}$m，m），
∴PN=$\frac{3}{2}$m，PK=$\sqrt{（3-m）^{2}+（1-m）^{2}}$，NK=$\sqrt{（3-\frac{5}{2}m）^{2}+（1-m）^{2}}$，
△PNK为等腰三角形分三种情况：
①当PN=PK时，有$\frac{3}{2}$m=$\sqrt{（3-m）^{2}+（1-m）^{2}}$，
解得：m₁=2$\sqrt{74}$-16，m₂=-2$\sqrt{74}$-16（舍去），
此时Q（2$\sqrt{74}$-16，0）；
②当PN=NK时，有$\frac{3}{2}$m=$\sqrt{（3-\frac{5}{2}m）^{2}+（1-m）^{2}}$，
解得：m₃=$\frac{17-\sqrt{89}}{10}$，m₄=$\frac{17+\sqrt{89}}{10}$（舍去），
此时Q（$\frac{17-\sqrt{89}}{10}$，0）；
③当PK=NK，有$\sqrt{（3-m）^{2}+（1-m）^{2}}$=$\sqrt{（3-\frac{5}{2}m）^{2}+（1-m）^{2}}$，
解得：m₅=$\frac{12}{7}$，m₆=0（舍去），
此时Q（$\frac{12}{7}$，0）．
综上可知：点Q的坐标为（2$\sqrt{74}$-16，0）、（$\frac{17-\sqrt{89}}{10}$，0）或（$\frac{12}{7}$，0）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及解无理方程，解题的关键是分三种情况考虑△PNK为等腰三角形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，分类讨论是关键．