Question

20．已知二次函数y=（k²+2k）x²-2（k+1）x+1，其中k为给定的正整数．
（Ⅰ）若函数y的图象与x轴相交于A、B两点，且线段AB的长为$\frac{1}{12}$，求k的值；
（Ⅱ）若k依次取1，2，…，2015时，函数y的图象与y轴相交于点C，与x轴相交所截得的2015条线段分别是A₁B₁，A₂B₂，…，A₂₀₁₅B₂₀₁₅，记△A₁B₁C，△A₂B₂C，…，△A₂₀₁₅B₂₀₁₅C的面积分别为S₁，S₂，…，S₂₀₁₅，求证：S₁+S₂+…+S₂₀₁₅＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令y=0，用k表示出x的值，根据线段AB的长为$\frac{1}{12}$，即可得到k的方程，求出k的值即可；
（Ⅱ）首先用k表示出A_KB_K，进而求出S_k=S_△AkBkC=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+2}$），最后求出S₁+S₂+…+S₂₀₁₅的和．

解答 解：（Ⅰ）令y=0，解得x₁=$\frac{1}{k}$，x₂=$\frac{1}{k+2}$，x₁＞x₂，
AB=|x₁-x₂|=x₁-x₂=$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+2}$=$\frac{1}{12}$，
解得k=4；
（Ⅱ）点C坐标为（0，1），A_KB_K=$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+2}$，
S_k=S_△AkBkC=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+2}$），
S₁+S₂+…+S₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2005}$-$\frac{1}{2007}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2006}$-$\frac{1}{2007}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2006}$-$\frac{1}{2007}$）
＜$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及三角形三边关系的知识，解题的关键是用k表示出A_kB_k，此题有一定的难度．