Question

5．关于x的方程kx²+（k+1）x+$\frac{k}{4}$=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分k=0和k≠0两种情况考虑，当k=0时可求出x的值；当k≠0时，利用根的判别式△≥0即可求出k的取值范围．综上即可得出结论；
（2）假设存在满足条件的实数k，设方程的两个根是x₁、x₂，根据根与系数的关系结合两个实数根的倒数和等于0，即可求出k值，根据（1）结论即可得出假设不成立，从而得出结论．

解答 解：（1）当k=0时，方程是一元一次方程，此时方程的根为x=0．
∴方程有根；
当k≠0时，方程为一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴△=（k+1）²-4k•$\frac{k}{4}$=2k+1≥0，
解得：k≥-$\frac{1}{2}$且k≠0．
综上所述k的取值范围是k≥-$\frac{1}{2}$．
（2）假设存在满足条件的实数k，设方程的两个根是x₁、x₂，
∵x₁•x₂=$\frac{1}{4}$≠0，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=0，
∴x₁+x₂=0，
∵x₁+x₂=-$\frac{k+1}{k}$，
∴k+1=0，即k=-1，
∵k≥-$\frac{1}{2}$，
∴假设不成立．
∴满足条件的实数k不存在．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有解时根的判别式△≥0是解题的关键．