Question

15．如图，已知二次函数y=-x²+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）已知点P在这个抛物线上，且S_△ACP=10，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点坐标分别代入y=-x²+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）通过解方程-x²+2x+3=0得C（-1，0），设P（t，-t²+2t+3），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$×4×|-t²+2t+3|=10，即|-t²+2t+3|=5，然后解绝对值方程求出t的值即可得到P点坐标．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则C（-1，0），
设P（t，-t²+2t+3），
∵S_△ACP=10，
∴$\frac{1}{2}$×4×|-t²+2t+3|=10，即|-t²+2t+3|=5，
当-t²+2t+3=5，即t²-2t+2=0，此方程没有实数解；
当-t²+2t+3=-5，即t²-2t-8=0，解得t₁=-2，t₂=4，
∴P（-2，-5）或（4，-5）．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．