Question

10．有一个四边形ABCD，BC=CD，∠BCD=60°，∠BAD=120°．
（1）小明认为AB+AD=AC（如图甲），为了证明它，需要作辅助线，请问需要怎样作辅助线？小明认为作完辅助线后，还要证明一对三角形全等，请指出这一对三角形；
（2）若AB=AD（如图乙），F是DC延长线上一点，作∠FAE=60°，AE与CB的延长线交点为E，连EF，线段EF、EB和DF之间有怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ADG和BCD是等边三角形，得出∠BDG=∠CDA，即可得出结论；
（2）先判断出△ABC≌△ADC，结合四边形的内角和得出∠ABC=∠ADC=90°，再判断出△ADE'≌△ABE得出AE'=AE，最后判断出△EAF≌△E'AF即可．

解答 解：（1）△BDG≌△CDA；
如图甲，

连接BD，延长BA至G，使AG=AD，
∵∠BAD=120°，
∴∠DAG=60°，
∵AG=AD，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠ADG=60°，DG=AD，
∵∠BCD=60°，BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，BD=CD，
∴∠BDG=∠CDA，
在△BDG和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDG=∠CDA}\\{DG=AD}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CDA，
∴AC=BG=AG+AB=AD+AB，
（2）DF=EB+EF，
理由：如图乙，

在四边形ABCD中，∠BAD=120°∠BCD=60°，
根据四边形的内角和得，∠ABC+∠ADC=180°
在△ABC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=60°，
∵∠EAF=60°，
∴∠EAB=∠CAF
在△ACD内部作∠DAE'=∠BAE，
∴∠CAF=∠DAE'，
∴∠FAE'=∠FAC+∠CAE'=∠DAE'+∠CAE'=60°=∠EAF，
在△ADE'和△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE'=∠ABE=90°}\\{AD=AB}\\{∠DAE'=∠BAE}\end{array}\right.$，
∴△ADE'≌△ABE，
∴AE'=AE，
在△EAF和△E'AF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE'}\\{∠EAF=∠E'AF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△E'AF，
∴EF=E'F，
∴DF=DE'+E'F=EB+EF．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是作出辅助线△ACD内部作∠DAE'=∠BAE，也是解本题的难点．