Question

18．如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 作PC⊥AB于C，如图，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，设BC=x，先判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=x，再在Rt△PAC中利用正切的定义得到8+x=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$，解得x=4（$\sqrt{3}$+1）≈10.92，即AC≈10.92，然后比较AC与10的大小即可判断海轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险．

解答 解：没有触礁的危险．理由如下：
作PC⊥AB于C，如图，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，
设BC=x，
在Rt△PBC中，∵∠PBC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴BC=PC=x，
在Rt△PAC中，∵tan∠PAC=$\frac{PC}{AC}$，
∴AC=$\frac{PC}{tan30°}$，即8+x=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$，解得x=4（$\sqrt{3}$+1）≈10.92，
即AC≈10.92，
∵10.92＞10，
∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题：在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．