题目内容
（本题12分）如图，过点A（0，3）的直线l1与x轴交于点B，tan∠ABO=
．过点A的另一直线l2：y＝－
x＋b (t＞0)与x轴交于点Q，点P是射线AB上的一个动点，过P作PH⊥x轴于点H，设PB＝5t．
（1）求直线l1 的函数解析式；
（2）当点P在线段AB上运动时，设△PHQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）当点P 在射线AB上运动时，是否存在这样的t值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△AOQ相似？若存在，直接写出所有满足条件的t值所对应的P点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）函数解析式为y=
x＋3；（2）①当H在Q、B之间时S=
（4－8t）×3t=
②当H在O、Q之间时，S=(8t－4) 3t=
；（3）t1＝
，P1
；t2＝
－1，P2
； t3＝
，P3
；t4＝1，P4（0，3）；t5＝1， P5（8，－3）
【解析】
试题分析：（1）∵A（0，3），且tan∠ABO=
∴B（4，0）
设y=kx+b ，将A（0，3） B（4，0）代入上式得b=3 0=4k＋b
解得k=
，b=3
∴ 函数解析式为y=x＋3
（2）由B（4，0）．∴OB＝4，
∵OA＝3， ∴AB＝5．
由题意，得△BHP∽△BOA，
∵OA∶OB∶AB＝3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由y＝－
x＋3与x轴交于点Q， 得Q（4t，0）
①当H在Q、B之间时（如图1）
QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t．
S=（4－8t）×3t=
②当H在O、Q之间时（如图2）
QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4．
S=(8t－4) 3t=
（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△AOQ相似
①当H在Q、B之间
t1＝，P1 或者t2＝－1，P2
②当H在O、Q之间
t3＝．得P3 或者t4＝1，P4（0，3）
③当H在B的右侧
t5＝1， P5（8，－3）
考点:一次函数的综合运用
