Question

16．如图，这些几何体都是简单几何体，请你仔细观察．

（1）认真统计每个几何体的棱数（E）、面数（F）、顶点数（V），完成表．

几何体	a	b	c	d	e
棱数（E）	6	8	9	12	15
面数（F）	4	5	5	6	7
顶点数（V）	4	5	6	8	10

（2）观察表，不难发现：
①简单几何体中，每条棱都是2个面的公共边；
②在几何体c、d、e中，每个顶点处有3条棱，每条棱都有2个顶点，所以有2×E=3×V；
③简单几何体中，V、F、E之间满足后面的关系式：V+F-E=2．
（3）应用（2）题结论解答：有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它共有30条棱，共有20个顶点，每个顶点处有3条棱．
（4）将（3）题的解题过程简要叙述在后面．

Answer 1

分析 （1）根据观察图形可得；
（2）根据顶点与棱的关系，可得答案；
（3）根据正十二边形有十二个面，每个面是五边形，每条棱为两个面共用，可得楞数，再根据棱与顶点的关系，可得顶点数；
（4）利用（3）中所得结论解答．

解答 解：（1）如下所示：

几何体	a	b	c	d	e
棱数（E）	6	8	9	12	15
面数（F）	4	5	5	6	7
顶点数（V）	4	5	6	8	10

（2）①简单几何中，每条棱都是2个面的公共边；
②在几何体c、d、e中，每个顶点处有3条棱，每条棱都有2个顶点，所以有2×E=3×V；
③简单几何体中，V、F、E之间满足后面的关系式：V+F-E=2；
故答案为：①2；②3，2；③2；

（3）有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有30条棱，20个顶点，每个顶点处有3条棱；
故答案为：30，20，3；

（4）正十二面体的棱数E=30、顶点数V=20和面数F=12满足：20+12-2=30，即V+F-2=E．

点评 本题考查了欧拉公式，顶点数+面数-棱数=2，注意2×E=3×V．