Question

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）以AD为边做正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC-CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线时，其它条件不变，请写出CF、BC、CD三条线段之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：（1）①根据正方形得性质得∠DAE=90°，AD=AE，再利用等角的余角相等得到∠BAD=∠CAF，于是可根据“SAS”证明△ABD≌△ACF，则∠ABD=∠ACF，利用∠ABD+∠ACB=90°，得到∠ACF+∠ACB=90°，则根据垂直的定义得到BD⊥CF；
②根据三角形全等的性质得BD=CF，然后利用BD=BC-CD即可得到结论；
（2）与（1）中的证明方法一样可得△ABD≌△ACF，则BD=CF，由于BD=BC+CD，所以CF=BC+CD．

解答：解：（1）①∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
即∠DAC+∠CAF=90°，
∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠ABD+∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
即∠DCF=90°，
∴BD⊥CF；
②∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
而BD=BC-CD，
∴CF=BC-CD；
（2）CF=BC+CD．理由如下：
与（1）中的证明方法一样可得△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
而BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形得性质．