Question

如图，以△ABC的三边为边，在BC边的同侧作等边△DBA，△EBC，△FAC．
（1）试说明四边形AFED是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形，说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED不存在？

Answer 1

考点：正方形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定,矩形的判定

专题：

分析：（1）由△DBA，△EBC，△FAC都是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AB=DB，BC=BE，AC=AF，∠ABD=∠EBC=60°，那么∠DBE=∠ABC．利用SAS证明△DBE≌△ABC，根据全等三角形对应边相等得出DE=AC，等量代换得到DE=AF，同理DA=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得出四边形AFED是平行四边形；
（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．可先根据周角的定义求出∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形AFED是矩形；
（3）当△ABC是顶角为150°的等腰三角形时，四边形ADEF是正方形．根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形AFED是正方形；
（4）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．

解答：解：（1）∵△ABD，△BCE，△FAC是等边三角形，
∴AB=DB，BC=BE，AC=AF，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠DBE=∠ABC．
在△BDE和△BAC中，

DB=AB ∠DBE=∠ABC BE=BC

，
∴△DBE≌ABC（SAS），
∴DE=AC，
∴DE=AF．
同理可得DA=EF，
∴四边形AFED是平行四边形；

（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．理由如下：
∵∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=360°-60°-150°-60°=90°，
∴?AFED是矩形；

（3）当△ABC是顶角为150°的等腰三角形时，四边形ADEF是正方形．理由如下：
由（2）可知，当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形，
∵AB=AC，
∴矩形AFED是正方形；

（4）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，
此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形、矩形、正方形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键．