Question

【题目】在平面直角坐标系 xOy 中，点A，B的坐标分别为（-2，0），（1，0）．同时将点A ，B先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A，B的对应点依次为C，D，连接CD，AC， BD ．

（1）写出点C ， D 的坐标；

（2）在 y 轴上是否存在点E，连接EA ，EB，使S△EAB=S四边形ABDC？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点 P 是线段 AC 上的一个动点，连接 BP ， DP ，当点 P 在线段 AC 上移动时（不与 A ， C 重合），直接写出CDP 、ABP 与BPD 之间的等量关系．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣3，2），D（0，2）；（2）存在，E（0，4）或（0，﹣4）；（3）∠DPB＝∠CDP+∠ABP

【解析】

（1）利用平移变换的性质解决问题即可．

（2）如图1中，设E（0，m），根据平行四边形和三角形的面积公式，构建方程即可解决问题．

（3）如图2中，作PH∥CD交BD于H．利用平行线的性质解决问题即可．

解：（1）如图1中，

∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（1，0），将点A，B先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A，B的对应点依次为C，D．

∴C（﹣3，2），D（0，2）．

（2）如图1中，设E（0，m），

∵AB＝CD，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵S△EAB＝S四边形ABDC，

∴3×2＝×3×|m|，

∴m＝±4，

∴E（0，4）或（0，﹣4）．

（3）如图2中，作PH∥CD交BD于H．

∵AB∥CD，PH∥CD，

∴PH∥AB

∴∠CDP＝∠DPH，∠ABP＝∠BPH，

∴∠DPB＝∠DPH+∠BPH＝∠CDP+∠ABP．