Question

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．
（1）求cos∠ADE的值；
（2）当DE=DC时，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和得到∠A+∠ADE=90°，∠A+∠B=90°，根据余角的性质得到∠ADE=∠B，根据勾股定理得到AB=13，由三角函数的定义即可得到结论；
（2）由（1）得$cos∠ADE=\frac{DE}{AD}=\frac{5}{13}$，设AD为x，则$DE=DC=\frac{5}{13}x$，由于AC=AD+CD=12，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴∠A+∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，
∴AB=13，
∴$cosB=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$，
∴$cos∠ADE=cosB=\frac{5}{13}$；

（2）由（1）得$cos∠ADE=\frac{DE}{AD}=\frac{5}{13}$，
设AD为x，则$DE=DC=\frac{5}{13}x$，
∵AC=AD+CD=12，
∴$\frac{5}{13}x+x=12$，
解得$x=\frac{26}{3}$，
∴$AD=\frac{26}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，正确掌握解直角三角形的方法是解题的关键．