题目内容
数学思考：
（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．
推广延伸：
（2）①如图2，已知AA1∥BA2，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；
②如图3，已知AA1∥BA2，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠Bn-1、∠An的关系．
拓展应用：
（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为
A．α+β+γ B．β+γ-α C.180°-α-γ+β D.180°+α+β-γ
②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是 ．
（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．
推广延伸：
（2）①如图2，已知AA1∥BA2，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；
②如图3，已知AA1∥BA2，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠Bn-1、∠An的关系．
拓展应用：
（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为
A．α+β+γ B．β+γ-α C.180°-α-γ+β D.180°+α+β-γ
②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是
考点：平行线的性质
专题：
分析：（1）过点P作OP∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，再根据∠APC=∠1+∠2整理即可得证；
（2）①过点A2作A2O∥AA1，根据（1）可得∠B1=∠A1+∠1，∠B2=∠2+∠A3，然后相加整理即可得解；
②根据规律，A系列的角的和等于B系列的角的和列式即可；
（3）①过∠x的顶点作CD∥AB，然后根据平行线的性质和（1）的结论表示出x即可；
②根据（2）的结论列式计算即可得解．
（2）①过点A2作A2O∥AA1，根据（1）可得∠B1=∠A1+∠1，∠B2=∠2+∠A3，然后相加整理即可得解；
②根据规律，A系列的角的和等于B系列的角的和列式即可；
（3）①过∠x的顶点作CD∥AB，然后根据平行线的性质和（1）的结论表示出x即可；
②根据（2）的结论列式计算即可得解．
解答：
（1）证明：如图1，过点P作OP∥AB，
∵AB∥CD，
∴OP∥AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，
即∠APC=∠PAB+∠PCD；
（2）解：①如图2，过点A2作A2O∥AA1，
由（1）可知∠B1=∠A1+∠1，∠B2=∠2+∠A3，
所以，∠B1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A3；
②∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn-1；
（3）解：①如图4，过∠x的顶点作CD∥AB，
则∠x=（180°-α）+（β-γ）=180°-α-γ+β，
②由（1）可知，30°+∠GHM+50°=∠G+∠M，
∵∠G=90°，∠M=30°，
∴∠GHM=90°+30°-30°-50°=40°．
故答案为：C；40°．
（1）证明：如图1，过点P作OP∥AB，∵AB∥CD，
∴OP∥AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，
即∠APC=∠PAB+∠PCD；
（2）解：①如图2，过点A2作A2O∥AA1，
由（1）可知∠B1=∠A1+∠1，∠B2=∠2+∠A3，
所以，∠B1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A3；
②∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn-1；
（3）解：①如图4，过∠x的顶点作CD∥AB，
则∠x=（180°-α）+（β-γ）=180°-α-γ+β，
②由（1）可知，30°+∠GHM+50°=∠G+∠M，
∵∠G=90°，∠M=30°，
∴∠GHM=90°+30°-30°-50°=40°．
故答案为：C；40°．
点评：本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质并作出辅助线是解题的关键，难点在于总结出A系列的角的和等于B系列的角的和．
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