Question

已知抛物线y=

1

4

x²，点M （0，1）关于x轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于A，B两点
（1）证明：若设直线NA为y=k₁x+b₁，直线NB为y=k₂x+b₂，求证：k₁+k₂=0；
（2）求△ANB面积的最小值；
（3）当点M的坐标为（0，m）（m＞0，且m≠1），根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）：
①k₁+k₂=0是否成立？
②△ANB面积的最小值是多少？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）设直线l的解析式为y=kx+1，联立抛物线解析式求出点A、B的坐标，再根据关于x轴对称的点的纵坐标相等求出点N的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出k₁、k₂，再求出k₁+k₂=0即可；
（2）根据S_△ANB=S_△ANM+S_△BNM列式整理，再根据平方数非负数的性质求解即可；
（3）根据（1）（2）的解答，把点M（0，1）换成（0，m）解答即可．

解答：解：（1）∵直线l经过点M（0，1），
∴设直线l的解析式为y=kx+1，
联立

y=kx+1 y= 1 4 x2

，
解得

x1=2k-2 k2+1 y1=2k2-2k k2+1 +1

，

x2=2k+2 k2+1 y2=2k2+2k k2+1 +1

，
∴点A（2k-2

k2+1

，2k²-2k

k2+1

+1），B（2k+2

k2+1

，2k²+2k

k2+1

），
∵点M（0，1）与点N关于x轴对称，
∴N（0，-1），
∴

k1(2k-2 k2+1 )+b1=2k2-2k k2+1 +1 b1=-1

，
解得k₁=k+

1

k- k2+1

，
同理，k₂=k+

1

k+ k2+1

，
∴k₁+k₂=k+

1

k- k2+1

+k+

1

k+ k2+1

=2k+

k+ k2+1 +k- k2+1

(k- k2+1 )(k+ k2+1 )

=2k-2k=0，
即k₁+k₂=0；

（2）∵M（0，1），N（0，-1），
∴MN=1-（-1）=1+1=2，
S_△ANB=S_△ANM+S_△BNM，
=

1

2

×2×（2

k2+1

-2k+2k+2

k2+1

），
=4

k2+1

，
∵k²≥0，
∴当k=0，即AB∥x轴时，△ANB面积的最小，最小值是4；

（3）①k₁+k₂=0成立；
②△ANB面积的最小值是4m

m

．
理由如下：∵直线l经过点M（0，m），
∴设直线l的解析式为y=kx+m，
联立

y=kx+m y= 1 4 x2

，
解得

x1=2k-2 k2+m y1=2k2-2k k2+m +m

，

x2=2k+2 k2+m y2=2k2+2k k2+m +m

，
∴点A（2k-2

k2+m

，2k²-2k

k2+m

+m），B（2k+2

k2+m

，2k²+2k

k2+m

+m），
∵点M（0，m）与点N关于x轴对称，
∴N（0，-m），
∴

k1(2k-2 k2+m )+b1=2k2-2k k2+m +m b1=-m

，
解得k₁=k+

m

k- k2+m

，
同理，k₂=k+

m

k+ k2+m

，
∴k₁+k₂=k+

m

k- k2+m

+k+

m

k+ k2+m

=2k+

m(k+ k2+m +k- k2+m )

(k- k2+m )(k+ k2+m )

=2k-2k=0；
②∵M（0，m），N（0，-m），
∴MN=m-（-m）=m+m=2m，
S_△ANB=S_△ANM+S_△BNM，
=

1

2

×2m×（2

k2+m

-2k+2k+2

k2+m

），
=4m

k2+m

，
∵k²≥0，
∴当k=0，即AB∥x轴时，△ANB面积的最小，最小值是4m

m

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标的方法，三角形的面积，平方数非负数的性质，运算过程非常麻烦，计算时要认真仔细．