Question

已知：在平面直角坐标系中，抛物线l₁的顶点为（2，-5），且经过点（0，-4），先将l₁向上平移5个单位，再向左平移2个单位，得抛物线l₂．设A、B是抛物线l₂上的两个动点，横坐标分别为a、b．
（1）求l₂的解析式；
（2）探究：当a、b满足什么关系时，OA⊥OB？
（3）当a、b满足（2）中的关系时，求证：直线AB经过定点，并求出线段AB长度的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先得出抛物线l₂的顶点为（0，0），且过点（-2，1），进而得出其解析式即可；
（2）首先作AA′⊥x轴于A′，BB′⊥x轴于B′，得出△OAA′∽△OB′B，进而得出ab的关系；
（3）首先设直线AB的解析式为：y=mx+n，由

y=mx+n y= 1 4 x2

，得出ab的值，再利用完全平方公式求出AB的最值．

解答：解：（1）点（2，-5）和（0，-4）向上平移5个单位再向左平移2个单位得（0，0）和（-2，1），
所以抛物线l₂的顶点为（0，0），且过点（-2，1）．
设l₂的解析式为：y=ax²，
则1=4a，解得：a=

1

4

，
所以l₂的解析式为：y=

1

4

x²；

（2）A（a，

a2

4

），B（b，

b2

4

），
作AA′⊥x轴于A′，BB′⊥x轴于B′，
当OA⊥OB时，则∠AOA′+∠BOB′=90°，
∵∠BOB′+∠OBB′=90°，
∴∠OBB′=∠AOA′，
又∵∠AA′O=∠BB′O=90°
∴△OAA′∽△OB′B，
∴

AA′

A′O

=

OB′

BB′

∴

a2 4

-a

=

b

b2 4

，
化简得ab=-16；

（3）设直线AB的解析式为：y=mx+n，
由

y=mx+n y= 1 4 x2

，
得x²-4mx-4n=0，
因为a，b是这个方程的两根，
所以ab=-4n，
由（2）得，-4n=-16，
解得：n=4，
所以直线过定点（0，4）．
猜想当直线绕定点（0，4）旋转到水平位置时，AB的长度最小，在y=

1

4

x²令y=4，
得x=±4，AB的最小值为8，
证明：
AB²=（a-b）²+（

a2

4

-

b2

4

）²
=

1

16

（a-b）²[16+（a+b）²]
=

1

16

[（a+b）²-4ab][16+（a+b）²]
=

1

16

[（a+b）²+64][16+（a+b）²]
因为（a+b）²≥0，所以当a+b=0（此时AB为水平线）时，
（AB²）_最小值=

1

16

×64×16=64，
故AB的最小值为8．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的判定与性质等知识，利用结合函数解析式以及完全平方公式得出是解题关键．