Question

已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与直线y=2x交于点C、D．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）将直线y=2x沿y轴向上平移，平移后的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），若EF=

5

，试求点E的坐标；
（3）G、H为线段CD上关于点O对称的两点，且GH=2

5

，设直线y=2x沿y轴向上平移的距离为k，在平移的过程中，若线段GH与抛物线有两个公共点，求k的范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）用等定系数法求得抛物线的解析式，再求出点C的坐标．
（2）先求出交点的坐标，利用两点间的距离公式求出b．
（3）先求出点H，G的坐标，再求出当平移2个单位时G，H正好与抛物线相交，再求出直线与抛物线只有一个交点时的k值，再求出k的范围．

解答：解：（1）把A（-1，0）、B（3，0），代入y=-x²+bx+c得，

0=-1-b+c 0=-9+3b+c

，解得，

b=2 c=3

∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
∵与直线y=2x交于点C、D．
∴2x=-x²+2x+3，解得x=±

3

，
∴点C（

3

，2

3

），点D（-

3

，-2

3

）．
（2）设平移后的直线解析式为：y=2x+b，

y=-x2+2x+3 y=2x+b

，解得

x1= 3-b y1=2 3-b +b

，

x2=- 3-b y2=-2 3-b +b

，
∴EF=

(-2 3-b +b-2 3-b -b)2+(- 3-b - 3-b )2

=2

3-b

5

，
∵EF=

5

，
∴2

3-b

5

=

5

，
∴b=

11

4

，
∵点E在点F的左侧，
∴E点的坐标为（-

1

2

，

7

4

）．
（3）如图，

∵G、H为线段CD上关于点O对称的两点，GH=2

5

，
∴OH=

5

，
∵H在y=2x上，设H的坐标为（a，2a），
∴a²+（2a）²=5，
解得，a=±1，
∴H（1，2），G（-1，-2），
当抛物线y=-x²+2x+3，横坐标为-1时，y=0，横坐标为1时，y=4，
∴y=2x向上平移2个单位时G，H正好与抛物线相交，
∴此时k=2，
设平移后的直线解析式为：y=2x+k，
∵抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
∴2x+k=-x²+2x+3，
化简x²=3-k
∴只有3-k＞0，即k＜3时直线y=2x+k与抛物线有两个交点，
综上所述只有当2≤k＜3时，GH与抛物线有两个公共点．

点评：本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是能得出在y=2x+k向上平移的过程中点G，H同时在抛物线上，此时k的值为2．