Question

15．如图，直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较长直角边的长为$\sqrt{3}$cm，较小锐角的度数为30°．

（1）将△ECD沿直线AC翻折到如图（a）的位置，ED′与AB相交于点F，则BD′=$\sqrt{3}$-1cm，∠BFD′=30度．
（2）将△ECD沿直线l向左平移到（b）的位置，使E点落在AB上，则平移的距离是1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm．
（3）将△ECD绕点C逆时针方向旋转得到△E′C D′，设DE与C D′的交点为M，若△CDM为等腰三角形，则旋转角为30°或75°．（0°＜旋转角＜180°）

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质，可得D′C的长，根据锐角三角函数，可得BC的长，根据有理数的减法，可得答案；根据三角形外角的性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的性质，可得答案；
（3）根据等腰三角形的判定，可得答案．

解答 解：（1）由翻折的性质，得
D′C=$\sqrt{3}$，
由∠A=30°，AC=$\sqrt{3}$，
tan∠A=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BC}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
BC=1，
BD′=CD′-BC=$\sqrt{3}$-1，
由三角形外角的性质，得
∠D′+∠BFD′=∠ABC=60°，
∠BFD′=60°-∠D′=60°-30°=30°；
（2）设平移的距离CC′为x，BC′=1-x，
由△BC′E′∽△BCA，得
$\frac{BC′}{BC}$=$\frac{E′C′}{AC}$，即$\frac{1-x}{1}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
解得x=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）∠DCM=∠D=30°，△CDM为等腰三角形，即旋转角为∠DCM=30°，
∠DCM=∠DMC=$\frac{180°-∠D}{2}$=75°，△CDM为等腰三角形，即旋转角为∠DCM=75°，
故答案为：$\sqrt{3}$-1，30；1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；30°或75°．

点评 本题考查了翻折的性质，（1）利用了翻折的性质，锐角三角函数，三角形外角的性质；（2）利用了相似三角形的性质；（3）利用了等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键，以防遗漏．