Question

10．如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O，连接AD，BC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数．

Answer 1

分析 （1）只要证明AB=BC=CD=DA即可；
（2）只要证明△ADB是等边三角形即可解决问题；

解答 （1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴OA=OC，AD=CD，AB=BC，
∵四边形AFCG是矩形，
∴CG∥AF，
∴∠CDO=∠ABO，∠DCO=∠BAO，
∴△COD≌△AOB，
∴CD=AB，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形．

（2）∵E为AB中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AD=DB，
∵AD=AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴∠DBA=60°，
∵CD∥AB，
∴∠BDC=∠DBA=60°．

点评 本题考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．