Question

15．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE．F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，BE=3，AD=$\frac{7}{2}$，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）求三角形相似就要得出两组对应的角相等，已知了∠BFE=∠C，根据等角的补角相等可得出∠ADE=∠AFB，根据AB∥CD可得出∠BAF=∠AED，这样就构成了两三角形相似的条件．
（2）根据（1）的相似三角形可得出关于AB，AE，AD，BF的比例关系，有了AD，AB的长，只需求出AE的长即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的长，这样就能求出BF的长了．

解答 （1）证明：在平行四边形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD．

（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE=90°．
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∵△ABF∽△EAD，
∴$\frac{BF}{AD}$=$\frac{AB}{AE}$，
∴$\frac{BF}{\frac{7}{2}}$=$\frac{4}{5}$．
∴BF=$\frac{14}{5}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等角的补角，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．