Question

P为等边△ABC内的一点，PA=5，PB=3，PC=4，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′位置．
①判断△BPP′的形状，并说明理由；
②求∠BPC的度数．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：

分析：①根据旋转的性质可得BP=BP′，∠PBP′=∠ABC=60°，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答即可；
②根据等边三角形的三条边都相等可得PP′=PB，三个角都是60°可得∠BPP′=60°，根据旋转的性质可得P′C=PA，然后利用勾股定理逆定理判断出∠CPP′=90°，然后根据∠BPC=∠BPP′+∠CPP′计算即可得解．

解答：解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBP′，
∴BP=BP′，∠PBP′=∠ABC=60°，
∴△BPP′是等边三角形；

②∵△BPP′是等边三角形，
∴PP′=PB，∠BPP′=60°，
由旋转的性质得，P′C=PA=5，
∵PP′²+PC²=3²+4²=25=P′C²，
∴△CPP′是直角三角形，∠CPP′=90°，
∴∠BPC=∠BPP′+∠CPP′=60°+90°=150°．

点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，熟记性质与等边三角形的判断方法是解题的关键．