Question

如图，直线l与⊙O相切于A，弦BC交半径OA于D，GB⊥BC交l于G，若OA=R，AD=a，AC=b，则DG=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：作直径AE，连结CE、AB，如图，根据切线的性质，由直线l与⊙O相切于A得到∠DAG=90°，而GB⊥BC，则∠DBG=90°，根据圆周角定理可得点B和点A在以DG为直径的圆上，即点B、D、A、G四点共圆，所以∠DAA=∠DGA，加上∠CBA=∠E，则∠DGA=∠E，然后证明Rt△DAG∽Rt△ACE，再利用相似比可计算出DG．

解答：解：作直径AE，连结CE、AB，如图，
∵直线l与⊙O相切于A，
∴OA⊥AG，
∴∠DAG=90°，
∵GB⊥BC，
∴∠DBG=90°，
∴点B和点A在以DG为直径的圆上，即点B、D、A、G四点共圆，
∴∠DBA=∠DGA，
∵∠CBA=∠E，
∴∠DGA=∠E，
∵AE为直径，
∴∠ACE=90°，
∴Rt△DAG∽Rt△ACE，
∴

DG

AE

=

DA

AC

，即

DG

2R

=

a

b

，
∴DG=

2Ra

b

．
故答案为

2Ra

b

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．