Question

已知：点D是等边三角形ABC边AC上一点，点P是射线BD上的一动点，过点P的直线l与AB，BC所在直线分别相交于点E，F，且∠BPF=60°
（1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形；
（2）若等边三角形ABC的边长为3，将直线l向右平移，当点F与点C重合时（如图2）所示，求BD•BP的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由∠C=∠BPF，∠DBC=∠FBP，易证△BCD∽△BPF；
（2）先证明△BCD∽△BPC，得出比例式

BC

BP

=

BD

BC

，因此BD•BP=BC²=3²=9．

解答：解：（1）△BCD∽△BPF；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠BPF=60°，
∴∠C=∠BPF，
又∵∠DBC=∠FBP，
∴△BCD∽△BPF；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，BC=3，
∵∠BPC=60°，
∴∠C=∠BPC，
又∵∠DBC=∠CBP，
∴△BCD∽△BPC，
∴

BC

BP

=

BD

BC

，
∴BD•BP=BC²=3²=9．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式是解题的关键．