Question

17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，点M，N分别在AB，AD边上．
（1）求证：BC=DC：
（2）若AM：MB=AN：ND=1：2，求证：MC=NC．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由HL易证△ABC≌△ADC，则BC=DC；
（2）由AM：MB=AN：ND=1：2，可知BM=DN，根据SAS易证△BMC≌△DNC，则MC=NC．

解答 证明：（1）连接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴BC=DC；
（2）∵AM：MB=AN：ND=1：2，AB=AD，
∴BM=DN，
在△BMC和△DNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=DN}\\{∠ABC=∠ADC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△BMC≌△DNC（SAS），
∴MC=NC．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．