Question

6．如图，正方形ABCD边BC上一点E，BC=nEC，以AE为边作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°，点G为AF的中点，连接DG．
（1）当n=1时，如图①，则$\frac{EC}{GD}$=$\sqrt{2}$；
（2）当n＞1时，如图②，则$\frac{EC}{GD}$=$\sqrt{2}$，并说明理由．
（3）连接CF，如图③，当n=$\sqrt{2}$+1时，CF=2CE．

Answer 1

分析 （1）设正方形ABCD的边长为1，根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD=EC=1，∠ABC=∠ADC=90°，根据勾股定理求出AC，求出DG即可；
（2）过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点GM，倍长DG至K，连FK交CD于点H、连接EK，证△ABE≌△EGF，推出FG=BE，AB=EG=BC，证△ADG≌△FKG，推出∠ADG=∠FKG，AD=KF=EM=AB=BC，求出DK=$\sqrt{2}$KH=$\sqrt{2}$EC即可；
（3）BC=（$\sqrt{2}$+1）CE，设CE=1，则BC=AB=EM=$\sqrt{2}$+1，求出BE=CM=FM=$\sqrt{2}$，由勾股定理求出CF即可．

解答 解：（1）设正方形ABCD的边长为1，
则AB=BC=CD=AD=EC=1，∠ABC=∠ADC=90°，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{2}$，
∵G为AC中点，∠ADC=90°，
∴DG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{EC}{GD}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$；
（2）是$\sqrt{2}$，
理由如下：过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点GM，倍长DG至K，连FK交CD于点H、连接EK，

∵∠B=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEM=90°，
∴∠BAE=∠FEM，
∵∠B=∠M=90°，
∴在△ABE和△EMF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠M}\\{∠BAE=∠FEM}\\{AE=EF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△EGF，
∴FG=BE，AB=EG=BC，
∴CG=BE=FG，
∵G为AF中点，
∴AG=FG，
∵在△AGD和△FGK中
$\left\{\begin{array}{l}{DG=GK}\\{∠AGD=∠FGK}\\{AG=GF}\end{array}\right.$
∴△ADG≌△FKG，
∴∠ADG=∠FKG，AD=KF=EM=AB=BC，
∴KF∥EG，KF=EG，
∴四边形KFGE为矩形，
∴CH=FG=CG，
∴EC=KH=DH，
∴△DHK为等腰直角三角形，
∴DK=$\sqrt{2}$KH=$\sqrt{2}$EC，
∴$\frac{EC}{GD}=\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$；

（3）n=$\sqrt{2}$+1，
理由是：BC=（$\sqrt{2}$+1）CE，
设CE=1，则BC=AB=EM=$\sqrt{2}$+1，
所以BE=CM=FM=$\sqrt{2}$，
在Rt△FMC中，由勾股定理得：FC=2，
即CF=2CE，
故答案为：$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．