题目内容

15．如图，直线y=kx+2k-1与抛物线y=kx2-2kx-4（k＞0）相交于A、B两点，抛物线的顶点为P．
（1）抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-k-4）（用含k的代数式表示）．
（2）无论k取何值，抛物线总经过定点，这样的定点有几个？试写出所有定点的坐标，是否存在这样一个定点C，使直线PC与直线y=kx+2k-1平行？如果不存在，请说明理由；如果存在，求当直线y=kx+2k-1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x轴对称时，直线PC的解析式．

分析 （1）根据对称轴公式即可求得对称轴为x=1，然后把x=1代入代入即可求得顶点坐标；
（2）把解析式变形为y=kx2-2kx-4=k（x-2）x-4，即可求得抛物线总经过的定点；根据顶点P求得Q的坐标，代入直线解析式求得k的值，得出P（1，-$\frac{13}{2}$），根据平行的性质设成PC的解析式，然后根据待定系数法即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线y=kx2-2kx-4（k＞0），
∴对称轴为直线x=-$\frac{-2k}{2•k}$=1，
当x=1时，y=k-2k-4=-k-4，
∴顶点P为（1，-k-4），
故答案为直线x=1，（1，-k-4）；
（2）由y=kx2-2kx-4=k（x-2）x-4可知，无论k取何值，抛物线总经过定点（0，-4）和（2，-4）两个点，
∵交点Q与点P关于x轴对称，
∴Q（1，k+4），
∵直线y=kx+2k-1与抛物线的对称轴的交点为Q，
∴k+4=k+2k-1，解得k=$\frac{5}{2}$，
∴P（1，-$\frac{13}{2}$），
∵线PC与直线y=kx+2k-1平行，
∴设直线PC的解析式为y=$\frac{5}{2}$x+b，
代入P（1，-$\frac{13}{2}$）得-$\frac{13}{2}$=$\frac{5}{2}$+b，
解得b=-9，
∴直线PC的解析式为y=$\frac{5}{2}$x-9．
故存在定点C，使直线PC与直线y=kx+2k-1平行，直线PC的解析式为y=$\frac{5}{2}$x-9．

点评 本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，解题的关键是利用平行的性质和轴对称的性质得出P的坐标．

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