Question

11．如图，已知AD=BC，AB=CD，O是BD中点，过O作直线交DA的延长线于F，交BC的延长线于F．求证：OE=OF．

Answer 1

分析 根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠F，∠EDO=∠FBO，又因为平行四边形的对角线互相平分，所以，DO=BO，然后利用“角角边”证明△DOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．

解答 证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AD∥BC，
∴∠E=∠F，∠EDO=∠FBO，
在△DOE和△BOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠EDO=∠FBO}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴OE=OF．

点评 本题考查了平行四边形的对边平行，对角线互相平分的性质，以及全等三角形的判定与性质，证明两边相等，就证明这两边所在的三角形全等，是几何证明中常用的方法，一定要熟练掌握．