Question

19．如图，△ABC中，∠ACB=60°，△ABC′，△BCA′，△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，点D在边AC 上，且DC=BC．连接DB，DB′，DC′．有下列结论：
①CDB是等边三角形；
②△C′BD≌△B′DC；
③S_△AC′D≠S_△DB′A
④S_△ABC+S_△ABC′=S_△ACB′+S_△A′BC
其中，正确的结论有①②④（请写序号，少选、错选均不得分）

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得出△BCD是等边三角形以及∠C′BD=60°+∠ABD=∠ABC，进而证得△C′BD≌△ABC，△BCA≌△DCB′，进一步证得四边形AB′DC′是平行四边形，即可判断②③④．

解答 解：∵BC=CD，∠ACB=60°，
∴△BCD是等边三角形，故①正确；
∵△ABC′和△BCD是等边三角形，
∴∠ABC′=∠DBC=60°，
∴∠C′BD=60°+∠ABD=∠ABC，
在△C′BD与△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠C′BD=∠ABC}\\{AB=BC′}\end{array}\right.$，
∴△C′BD≌△ABC，
在△BCA与△DCB′中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠ACB=∠B′CD=60°}\\{AC=B′C}\end{array}\right.$
∴△BCA≌△DCB′（SAS）．
∴△C′BD≌△B′DC，故②正确；
∵△C′BD≌△ABC，
∴∠C′DB=∠ACB=60°，C′D=AC，
∵∠DBC=60°，AB′=AC，
∴∠C′DB=∠DBC，C′D=AB′，
∴BC∥C′D，
∵∠AB′C=∠A′CB=60°，
∴BC∥A′B，
∴AB′∥DC′，
∴四边形AB′DC′是平行四边形，
∴S_△AC′D=S_△DB′A，故③错误；
∵S_△AC′D=S_△DB′A，S_△B′CD=S_△BC′D，
∴S_△ABC+S_△ABC′=S_△ACB′+S_△A′BC．故④正确．
故答案为①②④．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及三角形面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键．