Question

13．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；
②正确．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{CF}$，由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，推出$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，即CF=2AF；
③正确．只要证明DM垂直平分CF，即可证明；
④正确．设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有 $\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{b}$，即b=$\sqrt{2}$a，可得tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

解答 解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{CF}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②正确；

∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；

设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有 $\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{b}$，即b=$\sqrt{2}$a，
∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$故④正确；
故选D．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．