题目内容
4．某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．（1）求甲、乙商品每件各多少元？
（2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，
①最多可采购甲商品多少件？
②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的$\frac{4}{5}$，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．
分析 （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
解答 解：（1）设甲商品每件x元，乙商品每件y元，
$\left\{\begin{array}{l}{10x+15y=350}\\{15x+10y=375}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=17}\\{y=12}\end{array}\right.$，
即甲商品每件17元，乙商品每件12元；
（2）①设采购甲商品m件，
17m+12（30-m）≤460，
解得，m≤20，
即最多可采购甲商品20件；
②由题意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{m≤20}\\{30-m≤\frac{4}{5}m}\end{array}\right.$，
解得，$16\frac{2}{3}≤m≤20$，
∴购买方案有四种，
方案一：甲商品20件，乙商品10件，此时花费为：20×17+10×12=460（元），
方案二：甲商品19件，乙商品11件，此时花费为：19×17+11×12=455（元），
方案三：甲商品18件，乙商品12件，此时花费为：18×17+12×12=450（元），
方案四：甲商品17件，乙商品13件，此时花费为：17×17+13×12=445（元），
即购买甲商品17件，乙商品13件时花费最少，最少要用445元．
点评 本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
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