Question

如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C的路线向终点C运动，连结DP交AC于点Q，连结BQ．
（1）如图1，当点P在AB边上运动时．①求证：△ADQ≌△ABQ；
②若AP=n，当n为何值时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

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6

．
（2）如图1、2，若记点P运动所经过的路程为x，求使得△BPQ为等腰三角形时x的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）①根据四边形ABCD是正方形，得出AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，再根据AQ=AQ即可证出△ADQ≌△ABQ；
②根据S_△ADQ=

1

6

S_{正方形ABCD}，得出AQ：AC=1：3，AQ：CQ=1：2，再求出AP：CD=1：2，最后根据CD=1，求出AP=

1

2

，即可得出答案；
（2）分两种情况讨论：
①当点P在边AB上时，要使△BPQ为等腰三角形，则∠PBQ=∠PQB，得出2∠ADQ+∠ADQ=90°，∠ADQ=30°，即可求出AP=x=

3

3

；
②当点P在BC边上时，先求出CP=

3

3

，从而得出x=2-

3

3

．

解答：（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°，
在△ADQ和△ABQ中，

AB=AD ∠DAQ=∠BAQ AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

②解：若S_△ADQ=

1

6

S_{正方形ABCD}，S_△ADQ=

1

3

S_△ACD，
则AQ：AC=1：3，AQ：CQ=1：2，
∵AB∥CD，
∴△APQ∽△CDQ，
∴AP：CD=AQ：CQ=1：2，
∵CD=1，
∴AP=

1

2

，
∴n=

1

2

，
∴当n=

1

2

时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

1

6

．

（2）解：①当点P在边AB上时，
∵∠BPQ＞90°，要使△BPQ为等腰三角形，必须PB=PQ
∴∠PBQ=∠PQB，
∴∠APQ=2∠ABQ=2∠ADQ
∴2∠ADQ+∠ADQ=90°
∴∠ADQ=30°
∴AP=x=

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3

；
②当点P在BC边上时，由①易知CP=

3

3

，
∴x=2-

3

3

；
综上①②，当x=

3

3

或2-

3

3

时，△BPQ为等腰三角形．

点评：此题考查了四边形综合，用到的知识点是等腰三角形全等三角形的性质与判定、正方形的性质，关键是综合运用有关性质得出有关结论，注意分类讨论思想的运用．