Question

如图，在平面直角坐标系中抛物线y=kx²+2kx-3k（k＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）当△ACD为直角三角形时，求k的值．
（3）过点F（-5，0）的直线m上有一动点E，当只能画三个以A，B，E为顶点的直角三角形时，求直线m的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）当y=0时，得出关于x的一元二次方程，求出其解即可得出结论；
（2）讨论，当∠ADC=90°时或当∠ACD=90°时有勾股定理建立关于k的方程求出其解即可；
（3）过点A，B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线m交于E₁，E₂，能得到2个直角三角形，以AB为直径作⊙G，圆心为AB中点G．过F点作⊙G的切线，切点是E（这样的切线有2条）．连接EG，由△EFG～△FBE₁得出BE₁=2

3

，E₁点坐标为（1，2

3

），设直线m的解析式为y=kx+b，由待定系数法就可以求出结论．

解答：解：（1）当y=0，则 0=kx²+2kx-3k
∵k＜0，
∴x²+2x-3=0
解得：x₁=1，x₂=-3
∴A（-3，0）、B（，0）；

（2）如图1，由抛物线y=kx²+2kx-3k（k＜0），
∴A（-3，0），D（-1，-4k），C（0，-3k）
∴AC²=9k²+9，DC²=k²+1，AD²=16k²+4，
∵∠DAC＜90°，
∴讨论∠ADC=90°和∠DCA=90°两种情况．
当∠ADC=90°时，AD²+CD²=AC²，16k²+4+k²+1=9k²+9
解得：k1=-

2

2

，k2=

2

2

（舍去）
当∠ACD=90°时，AC²+CD²=AD²，9k²+9+k²+1=16k²+4
解得：k₁=-1，k₂=1（舍去）       
综上所述：
当 k=-1或k=-

2

2

时，△ACD为直角三角形；

（3）如图2，过点A，B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线m交于E₁，E₂，能得到2个直角三角形，以AB为直径作⊙G，圆心为AB中点G．过F点作⊙G的切线，切点是E（这样的切线有2条）．
连接EG，
∵A（-3，0），B（1，0），∴G（-1，0），⊙G半径EG=2．
在Rt△EFG中，又FG=4，EF=2

3

，
在Rt△FBE₂中，FB=6，
由△EFG～△FBE₂得，

EG

E2B

=

EF

FB

，BE₂=2

3

∴E₂点坐标为（1，2

3

）
直线m过点F和点E₂，
设直线m的解析式为y=kx+b，由题意，得

-5k+b=0 k+b=2 3

，
解得：

k= 3 3 b= 5 3 3

所以直线m的解析式为y=

3

3

x+

5

3

3

．
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=-

3

3

x-

5

3

3

．
综上所述，直线m的解析式为y=

3

3

x+

5

3

3

和y=-

3

3

x-

5

3

3

．

点评：本题考查了一元二次方程的解法的运用，勾股定理的运用，圆的切线的现在的运用，相似三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，待定系数法求一次函数的饿解析式的运用，解答时灵活运用勾股定理的性质是关键，运用相似三角形的性质是难点．