Question

4．如图，E在矩形ABCD的AD边上，AE=3，ED=5，DC=10，F，H分别在AB，CD上，四边形EFGH是菱形，则△FBG的面积S的取值范围是（　　）

• A． 0＜S≤15
• B． 2＜S≤12
• C． 1＜S≤15
• D． 0＜S≤12

Answer 1

分析 由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，易证△HDE≌△GFP，得到GP=DE=5，即无论菱形EFGH如何变化，点G到直线AB的距离始终为定值5，先求出AF的取值范围，S的面积可以表示成x的函数，根据函数的性质，就可以求出最值．

解答 解：过点G作GP⊥AB于P，连接HF，
在矩形ABCD中，
∵CD∥AB，
∴∠DHF=∠HFP，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH∥GF，
∠EHF=∠HFG，
∴∠DHE=∠HFG，
∵∠D=∠P=90°，
在△HDE与△GFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HDE=∠GFP}\\{∠D=∠P}\\{EH=FG}\end{array}\right.$，
∴△HDE≌△GFP（AAS），
∴GP=DE=5，
∴即无论菱形EFGH如何变化，点G到直线AB的距离始终为定值5，
∴S_△GFB=$\frac{1}{2}$×5•BF，
当BF=0时，S=0，
当BF最大时，AF最小，
设DH=x，则EH²=25+x²，
∴EF²=25+x²，
∴AF²=25-x²-9=x²+16，
∴当AF=4时，BF=6，
∴S_最大=$\frac{1}{2}×5×6$=15，
∴△FBG的面积S的取值范围是：0＜S≤15，
故选A．

点评 本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．